HLM模型(hierarchical linear model，分层线性模型)有着多种称呼，可称作多水平模型，层次线性模型，或者混合效应模型，随机效应模型等。普通的线性回归模型研究X对于Y的影响，而HLM模型也研究X对于Y的影响，但是其考虑了group的聚集性因素（即考虑组内相关不独立问题）。

比如研究‘入学成绩X’对于‘中考成绩Y’的影响，个体是学生，学生隶属于学校group，并且样本数据来源于几个学校。那么不同学校(即group层面)之间的情况时‘入学成绩X’对于‘中考成绩Y’的影响时很可能不一样（比如好学校时可能影响幅度更高），如果希望将学校因素考虑进入，此时学校就是一个聚集性因素group，诸如此类研究时即可使用HLM模型。

HLM模型时涉及到两个重要的专业术语，分别是‘固定效应’和‘随机效应’，其说明如下表：

1、背景

当前有一项研究，研究样本为65所学校共计4059名学生，研究内容为学生入学成绩对于最终成绩的影响情况，由于学生样本来源于65所不同的学校，而且不同学校层次有着较大区别，因此需要将学校（即group项）的聚集性纳入考虑范畴中。研究数据中涉及的字段如下说明：

2、理论

HLM模型研究是对传统回归模型的进一步精细分析，研究者可深入探讨数据的变异是否在高层次（group）中存在着聚集性。一般分析时分为两个步骤如下说明：

第一步：首先只考虑固定效应，即不纳入随机效应；然后通过结果中的ICC值判断【group层面】因变量的变异幅度（ICC值越大意味着【group层面】因变量的变异幅度越大，一般ICC值较小比如小于0.1时，意味着【group层面】因变量的变异力度较低，意味着聚集性较弱，此时可考虑直接放弃HLM模型改用常见的回归模型即可）；

第二步：如果说ICC值较大(比如大于0.1时)，此时可进一步探究‘随机效应’对【group层面】带来的变异情况，加入group层次水平的研究项，深入探究它们对于【group层面】变异的解释情况。比如第一步中得到的ICC值为0.2，第二步之后 得到的ICC值为0.1，减少为0.2-0.1=0.1，也即说明新加入‘随机效应’项会对【group层面】产生0.1(10%)的变异解释力度。

• 特别提示：

• HLM模型时，研究思路并不完全固定，完全由研究者的研究目的而定；

• group的数据格式需要特别注意，比如本案例中某个学校(id=1)有73个个体学生，那么id=1就要对应重复73次。

3、操作

本例子中操作上第一步先不放入‘随机效应’项，即只放入如下图所示：

在第一次分析之后，发现ICC值为0.144较大，即意味着【group层面】即学校中考成绩的变异为14.4%。因此考虑纳入‘随机效应’项，将‘入学成绩’项纳入模型中，以深入探究‘入学成绩’对于【group层面】‘中考成绩’的解释力度（即入学成绩会对中考成绩有影响，但是在不同学校group间是否有差异性）。

4、SPSSAU输出结果

SPSSAU共输出4个表格，分别‘模型基本情况’，‘固定效应参数估计’，‘随机效应协方差估计结果’，‘随机效应参数估计的相关矩阵’，分别说明如下：

5、文字分析

本案例共进行了两次。第一次时不纳入‘随机效应’项，得到结果分别如下：

上表格展示出本次研究的总样本数量是4059个，而且有65组，即group项有65个不同的数字（即65所学校），其中某学校最少只有2个学生个体样本，某学校最多有198个学生个体样本，平均来看每所学校为62.4个学生个体样本。以及HLM模型使用REML似然法估计，log似然值为-4681.13。

‘固定效应参数估计’表格展示固定效应情况，即‘入学成绩’对于‘中考成绩’的影响，上表可知：回归系数值为0.563>0，并且此路径呈现出0.01水平的显著性（z =45.106，p =0.000 <0.01），因而说明入学成绩会对中考成绩产生显著的正向影响关系,即学生入学成绩越高，那么学生中考成绩也会越高。

由于第一次分析结果中并没有纳入‘随机效应’分析项，因此‘随机效应协方差估计结果’只会有截距和残差这两项，通过此两项可计算得到ICC值，计算公式为：组内相关系数ICC=截距项方差 / (截距项方差+残差项方差），即组间方差 /（组间方差 + 组内方差)。上表格显示ICC为0.144（此值相对较大），意味着【group层面】中考成绩的变异为14.40%。

与此同时，截距的回归系数值（variance或sd值均可称回归系数值）为0.094且呈现出显著性，意味着【group层面】之间的中考成绩有着明显的差异性。由于ICC值较大和【group层面】之间有着差异性，因此接下来再进一步纳入‘随机效应项’进行深入考虑，考虑‘随机效应项’对于【group层面】上的中考成绩变异的解释情况。

接着将‘入学成绩’这个学校水平上的数据作为‘随机效应项’纳入模型中，因而第2次分析的操作如下图：

第2次分析的结果分别如下面4个表格所示：

此表格信息并没有变化，不再赘述。

‘固定效应参数估计’表格展示固定效应情况，即‘入学成绩’对于‘中考成绩’的影响，上表可知：回归系数值为0.557>0，并且此路径呈现出0.01水平的显著性（z =27.588，p =0.000 <0.01），因而说明入学成绩会对中考成绩产生显著的正向影响关系,即学生入学成绩越高，那么学生中考成绩也会越高。

• 特别提示：

• 如果说进行过多次HLM模型分析，一般固定效应的分析只以最后一次结果为准即可。

在纳入‘入学成绩’这一‘随机效应’项之后，从上表可以看出：ICC值由第1次分析时的0.144上升到0.145，即增加幅度为0.001，也即说明‘入学成绩’可以提高【group层面】即学校层面‘中考成绩’的变异幅度为0.1%，此比例相对非常低可以基本可以忽略。

截距项呈现出0.01水平的显著性（z=3.625，p=0.000 <0.01），即意味着不同【group层面】即学校层面之间的中考成绩有着差异性。与此同时从上表格看到：‘入学成绩’这一‘随机效应’项呈现出显著性（z =2.356，p =0.018<0.05），即意味着‘入学成绩’对于中考成绩的影响时，不同【group层面】即学校层面时有着差异性。

即最终得到结论：【group层面】即学校层面之间的中考成绩确实有着差异性（z=2.356，p=0.018 <0.05），而且‘入学成绩’对于‘中考成绩’的影响时（z=2.356，p=0.018<0.05），会有着【group层面】即学校之间的差异性。

• 特别提示：

• 如果希望研究某随机效应项的加入，带来【group层面】（本案例为学校）中考成绩的解释力度变化，那么可使用计算公式为：（Coef_intercept1 – Coef_intercept2）/ Coef_intercept1【Coef_intercept表示第n次‘随机效应协方差估计结果’表格中‘截距’项的回归系数】，本案例中第1次分析得到的值为0.094，第2次为0.092，即为（0.094-0.092）/0.094=2.12%，即‘入学成绩’可以解释【group层面】即学校层级的平均成绩差异2.12%的原因。

‘随机效应参数估计的相关矩阵’表格展示随机效应项间的相关关系情况，比如上表格中0.494指随机效应截距项与‘入学成绩’间的相关情况，可理解为【group层面】学校间成绩差异与‘入学成绩’间的相关关系情况。该值较大，因此并不需要设置‘随机效应协方差为0’，如果该值较小比如小于0.2，可考虑设置模型中‘随机效应协方差为0’打勾即假定没有协方差关系。

6、剖析

涉及以下几个关键点，分别如下：