SBM模型

数据包络分析DEA时,其研究投入产出效率情况,并且其假定投入和产出之间存在单调线性关系,其为一种线性规划技术来确定DMU相对效率的方法。但有时候会多出下‘非期望产出’,就是不希望有它产出,比如资金投入、教育投入换来了GDP上升和人口素质提升,但同时可能带来环境污染这个非期望产出项。在此种情况时,DEA模型则不满足单调线性关系要求。此时则需要使用非期望SBM模型,该模型由Tone(2001)提出。

非期望SBM模型(undesirable slacks-based measurement,Undesirable SBM)是DEA 衍生模型中的一种。相对传统 DEA 模型,非期望产出 SBM 模型不仅避免径向和角度度量引起的偏差,而且考虑生产过程中非期望产出因素的影响,更能反映效率评价的本质。

除此之外,效率值计算时会出现为1时无法对比,此时可使用超效率SBM模型进行分析,便于对决策单元DMU进行效率值对比排序等。

SBM模型案例

  • 1、背景

    当前有一项效率数据研究,DMU为中国31省市并且从2012~2021共计10年的数据,数据包括2个投入项,1个产出项和1个非期望产出项,如下:

    类型 名称
    投入项 房地产开发企业本年实际到位资金(亿元)、全体居民人均消费支出(元)
    产出项 人均GDP(万)
    非期望产出项 二氧化硫排放量(万吨)

    GDP产出通常受到投资和消费的影响,因而将房地产投资金融与居民人均消费支出作为投入项,将人均GDP作为产出项,并且还有非期望产出项即二氧化硫排放量。研究数据从国家统计局官网下载并且整理得到,共计10年数据,因而在下述分析时可分别筛选出对应年份进行分析,本案例仅筛选出2021年数据进行分析。部分数据展示如下:

  • 2、理论

    SBM模型规划形式如下:

    上式为BCC模型结构式,如果为CCR结构式,则没有这一限制条件。

    上式中,代表决策单元的投入项,期望产出项和非期望产出项,分别表示投入、期望产出和非期望产出的松弛向量,λ为权重向量,模型中下标“0”为被评价单元。目标函数值ρ为制造业能源生态效率,其关于严格单调递减,其取值范围在0-1之间。

    当ρ=1,均为0时,决策单元是有效率的;当ρ<1时,表明决策单元存在效率损失,有必要在投入产出上做出相应改进。

    SBM模型可以设定投入导向、产出导向和非导向三种,投入导向是指在保证产出一定时,寻找最少的投入;产出导向是指在投入量一定时,寻找最大的产出;非导向是指同时从投入和产出角度进行测算,因而也被称作投入产出双向,SPSSAU默认提供为非导向类型,即同时从投入和产出角度进行测算。

    除此之外,考虑非期望产出的SBM模型可能会出现多个决策同时有效情况即效率值均为1,从而不便于对这些决策单元进行区分和排序。若测算结果出现多个决策单元同时有效时,则需要使用非期望产出的Super-SBM模型予以解决,即在SPSSAU操作界面中打勾选中‘超效率’复选框。关于超效率SBM模型(Super-SBM),其BCC规划形式如下:

    上式为BCC模型结构式,如果为CCR结构式,则没有这一限制条件。

    上述理论来源文献:李根, 刘家国, 李天琦. 考虑非期望产出的制造业能源生态效率地区差异研究——基于SBM和Tobit模型的两阶段分析[J]. 中国管理科学, 2019.

  • 3、操作

    本例子操作如下:

    选择使用BCC模型,并且放入2个投入项、1个产出项,1个非期望产出项。与此同时,将省放入DMU框中。暂不进行‘超效率SBM’分析,如果需要,此时将‘超效率SBM’进行打勾即可。

    与此同时,本案例数据为2012 ~ 2021共计10年数据,本案例仅针对2021年数据进行分析,因而先进行筛选后再分析,筛选如下图所示。

  • 4、SPSSAU输出结果

    SPSSAU共输出SBM模型效率值结果和效率值对比图形。如下说明:

    名称 说明
    SBM模型效率值结果表格 展示各DMU的效率值,以及变量Slack值
    SBM模型效率值结果图 直观展示各DMU效率值
  • 5、文字分析

    从上表格可知:北京、内蒙古、上海、江苏和西藏共5省,它们的效率值均为1,意味着该5省的投入产出效率最优。与此同时,如果此时还想对比该5个省的效率值,则需要选择‘超效率SBM’复选框后重新分析。

    上表格从第3列起,依次展示投入项、产出项、非期望产出项的变量Slack值。具体值的意义说明如下:如果投入项的松弛值>0表示投入需要减少量,如果产出项的松弛值>0表示产出需要增加量,如果非期望产出项的松弛值>0表示非期望产出需要减少量,具体以河北省为例:

    河北省的效率值为0.2628意味着投入产出效率较低,‘房地产开发企业本年实际到位资金(亿元)’这一投入项的松弛值为5872.5200>0,意味着需要减少房地产投资金额58772.52亿元才能明显提升效率;‘全体居民人均消费支出(元)’这一投入项的松弛值为4611,意味着如果想让效率值最优,需要减少人均居民消费支出4611元。除此之外,人均GDP松弛值为0.2605万,意味着人均GDP提升0.2605万时可达效率最优。并且非期望产出项值为16.85>0,意味着也需要减少二氧化硫排放量16.85万吨才能让效率值最优。

    • 特别提示:
    • 在实际研究中可针对各DMU(本案例为31省)效率值进行分组,可分成几个组别进一步对比各DMU的投入产出效率情况。以及本案例数据为10年(但仅针对2021年数据进行分析),可多次筛选出不同年份数据进行分析,最后进行汇总和对比不同年份的效率值变化情况等。

    上图直观展示各DMU的效率值数据,图中效率值与表格中效率值完全一致,仅为图示化展示。

  • 6、剖析

    涉及以下几个关键点,分别如下:

    • SBM模型时希望输出投入冗余率、产出不足率等信息?
    • SPSSAU默认输出投入项、产出项和非期望产出项对应的松弛变量Slack值,如果希望计算投入冗余率或者产出不足率,此时可将Slack值除以对应原始数据值,即得到相对率数据,投入项的Slack值除以投入量即为投入冗余率,产出项的Slack值除以产出量即为产出不足率。

    • 超效率SBM模型的使用?
    • SBM模型时如果出现各DMU项的效率值均为最优即均为1的情况,此时则无法对比DMU的投入产出效率(因为均为1),此时可选中‘超效率SBM’复选框,即使用超效率SBM模型进行分析使用,超效率SBM模型仅针对SBM模型中效率值=1的项进行,因而在SBM模型中效率值<1的项时,各项输出结果不变化。

    • SBM模型时,BCC和CCR模型的选择?
    • 相比CCR模型,BCC会多出lambda值=1的限制条件,通常情况下使用BCC模型,具体建议以文献为准。

    • SPSSAU中SBM模型的非负平移功能?
    • 在SBM模型或者超效率SBM模型时,SPSSAU提供非负平移功能,其意义为如果某列(某指标)数据出现小于等于0,则让该列数据同时加上一个‘平移值’【该值为某列数据最小值的绝对值+0.01】,以便让数据全部都大于0。

    • SPSSAU进行SBM模型时出现null值?
    • 规划求解计算时有可能出现无法计算的现象,此时建议更换模型,比如BCC模型与CCR模型的切换,也或者针对数据进行取对数后再次分析使用。

疑难解惑

  • SPSSAU进行SBM时提示样本过多?
  • SPSSAU进行SBM分析时,样本量需要小于1000,即分析数据最多1000行。