模糊层次分析法FAHP

• 1、背景

  当前有一份关于选择供应商选择的四个评价指标，该四个评价指标有着相对重要性数据，希望通过对评价指标的权重计算，进而结合各供应商在四个评价指标上的实际得分并且乘上权重求和，得到综合得分，进而对各供应商的优先级进行评估。当然关于四个评价指标的相对重要性数据如下：

  指标1	指标2	指标3	指标4
  0.5	0.7	0.6	0.7
  0.3	0.5	0.6	0.6
  0.4	0.4	0.5	0.6
  0.3	0.4	0.4	0.5

  • 表格中数据展示各指标的重要性情况，其为原始数据，在数学上也称作模糊互补矩阵（R矩阵，也称模糊判断矩阵）。其特点如下：

  • 模糊互补矩阵为n*n阶格式，数字表示相对重要程度，其介于0.1 ~ 0.9之间，数字越大表示越重要；

  • 模糊互补矩阵其右下三角线为0.5 ，表示自己与自己同等重要；

  • 比如上表格中指标1相对指标4为0.7，其表示指标1相对指标4更加重要，那么指标4相对指标1则为相对不那么重要为0.3，其对称的两个值相加一定为1。

• 2、理论

  • 模糊层次分析法FAHP时包括以下几个计算步骤，分别如下：

  • 准备好模糊判断矩阵；

  • 利用模糊判断矩阵计算权重，并且得到归一化权重，权重计算公式如下：

    $$W_i=\frac{\sum _{j=1}^n{a}_{ij}+\frac{n}{2}-1}{n(n-1)}$$

    上式中n为矩阵阶数，比如本案例为4个指标即4阶。a_ij表示第i和第j项模糊判断矩阵数据。上式可直接计算得到权重值，最后对权重进行归一化处理即得到归一化权重值。

  • 计算特征矩阵；

    特征矩阵计算公式为Wij=Wi / (Wi + Wj), Wi或Wj表示第i或j个指标的权重值。计算特征矩阵的目的是进行一致性检验。

  • 一致性检验；

    通过相容性CR指标进行检验模糊一致性，CR值<0.1则认为通过模糊一致性检验，反之则不通过。CR指标的计算上，其是利用模糊互补矩阵（即原始数据）与特征矩阵进行计算得到，其计算公式为：

    $$CR=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n|a_{ij}+W_{ji}-1|$$

    上式中，A表示模糊互补矩阵，W为特征矩阵，n为阶数。

• 3、操作

  本例子SPSSAU操作如下：

  

  将模糊互补矩阵数据粘贴（或编辑）到表格中，然后点击开始分析即可。

• 4、SPSSAU输出结果

  SPSSAU共输出5个表格和1个权重分布图，如下说明。

  表格	说明
  模糊互补R矩阵	即原始放入的数据
  数据标度表格	展示具体数据的相对重要性情况即标度说明
  FAHP权重结果	展示权重及归一化后权重
  特征矩阵	展示特征矩阵数据
  一致性校验	展示CR指标及一致性检验结果

• 5、文字分析

  

  上表格为模糊互补R矩阵，其输入的原始数据。并且在下表格中展示数据标度，即模糊互补R矩阵中数字的大小意义。比如指标1与指标4时为0.7，其意味着指标1相对于指标4显得‘明显重要’，当然反过来指标4比指标1会‘明显不重要’，其值为1-0.7=0.3。模糊互补R矩阵一定是对称两个值加和为1，并且主对角线上的数据为0.5，因为自己与自己为同等重要的意思。

  

  

  上表格为最权重结果，包括归一化之前和归一化之后，通常情况下是看归一化之后的权重值，因为归一化前的权重数据加和很可能不等于1。

  

  上表格展示特征矩阵数据，其并没有特别意义。目的是进行一致性检验时使用到，其对角线值也全部为0.5。

  

  上表格一致性检验结果，上表格显示相容性一致性检验指标CR值为0.0712<0.1，因而意味着通过一致性检验，如果没有通过一致性检验，需要考虑是否有出现比如指标1相对指标2更加重要，指标2比起指标3更加重要，那么肯定指标1相对指标3更重要，但数据上却出现指标3比指标1更重要。

• 6、剖析

  • 涉及以下几个关键点，分别如下：

  • 请确保提供正确的模糊互补矩阵，其数字表示相对重要程度，其介于0.1 ~ 0.9之间，数字越大表示越重要，模糊互补矩阵其右下三角线为0.5 ，表示自己与自己同等重要。

  • FAHP的计算公式参考文献如下：张吉军.模糊层次分析法(FAHP)[J].模糊系统与数学, 2000.DOI:CNKI:SUN:MUTE.0.2000-02-015.

• 7、疑难解惑

  • FAHP分析时一致性检验没有通过？

  • 如果没有通过一致性检验，需要考虑是否有出现比如指标1相对指标2更加重要，指标2比起指标3更加重要，那么肯定指标1相对指标3更重要，但数据上却出现指标3比指标1更重要。