冗余分析

冗余分析(Redundancy Analysis, RDA)是一种约束排序方法，用于分析响应变量矩阵(Y)与解释变量矩阵(X)之间的关系。RDA结合了多元回归分析和主成分分析(PCA)的优点，通过构建线性模型来解释响应变量的变异，并将这些变异分解为可由解释变量解释的部分(约束变异)和不可解释的部分(非约束变异)。

RDA的数学模型可以表示为：Y = XB + E

其中：

  • Y 是响应变量矩阵(n×m，n为样点数，m为响应变量数)

  • X 是解释变量矩阵(n×p，n为样点数，p为解释变量数)

  • B 是回归系数矩阵(p×m)

  • E 是残差矩阵(n×m)

RDA首先对响应变量矩阵Y进行多元线性回归，得到由解释变量X预测的Y值矩阵，然后对预测值矩阵进行主成分分析，提取主要的排序轴。这样，RDA轴既反映了响应变量间的关系，又体现了环境变量对响应变量的影响。

  • RDA广泛应用于生态学、环境科学等领域，特别适用于：

  • 1.分析环境因子对物种群落结构的影响

  • 2.识别影响生态系统的主要环境驱动因子

  • 3.探索多变量数据集之间的关系

  • 4.进行群落生态学研究

冗余分析案例

  • 1、背景

    某生态研究团队调查了30个不同地点的植被群落和环境因子，希望通过RDA分析了解环境因子如何影响植物群落的分布格局。数据包括5个环境变量(X1-X5)和8个植物物种(Y1-Y8)，部分数据如下。

  • 2、理论

    RDA的数学原理如下：

    1.数据预处理：对数据进行中心化或标准化处理，SPSSAU默认提供‘标准化’参数，研究者可不勾选该参数，此时SPSSAU则进行中心化处理；

    2.多元回归：将响应变量(Y)对解释变量(X)进行多元回归，得到拟合值矩阵

    3.特征值分解：对拟合值矩阵进行奇异值分解(SVD)，提取RDA轴

    4.方差分解：将总方差分解为约束方差(可由环境变量解释)和非约束方差(残差)

    5.显著性检验：通过置换检验判断环境变量对响应变量的解释是否显著

    RDA的排序结果可以用双序图(biplot)展示，图中同时显示样点、响应变量和解释变量的位置关系：

    • 样点之间的距离反映群落组成的相似性

    • 响应变量箭头的长度反映其在排序中的重要性

    • 解释变量箭头的方向反映其与排序轴的关系

    • 样点与解释变量箭头的夹角反映环境偏好

  • 3、操作

    本案例操作截图和说明分别如下：

    将X和Y分别放入右侧框中，右下方放入样本点的标签列数据，如果不放入，SPSSAU默认会输出比如第1项，第2项等内容。以及RDA个数默认是3个。

    SPSSAU进行RDA分析时，共涉及3个参数，分别是RDA个数，标准化和置换次数，如下述：

    • 关于‘RDA个数’

    • SPSSAU默认是3个，研究者可自行设置RDA个数，但需要注意的是，RDA个数需要小于X或Y的个数，且需要小于样本点的个数。

    • 关于‘标准化’

    • 默认SPSSAU选中该参数，其处理量纲问题，将X和Y均进行标准化处理。如果不选中，默认SPSSAU则进行中心化处理。

    • 关于‘置换次数’

    • 默认为200，更多次数结果更稳定但计算时间更长。

  • 4、SPSSAU输出结果

    SPSSAU中进行冗余分析时，其共输出9个表格和RDA双序图，分别说明如下：

    项 名称 说明
    1 置换检验结果表（方差分析表） 显示模型整体显著性检验结果
    2 方差分解结果 显示总方差、约束方差和非约束方差及其比例
    3 特征值和解释方差 显示各RDA轴的特征值和解释方差比例
    4 RDA双序图 可视化展示样点、响应变量和解释变量的关系
    5 解释变量与RDA相关性及解释方差 显示各解释变量的解释方差百分比及与RDA轴的相关性
    6 解释变量与响应变量相关性 显示解释变量与响应变量间的相关性
    7 样本得分表 显示各样点在各RDA轴上的坐标
    8 Y变量得分表 显示各响应变量在各RDA轴上的坐标
    9 X变量得分表 显示各解释变量在各RDA轴上的坐标
    10 样本缺失情况汇总 展示真实进入算法模型时有效样本和排除在外的无效样本情况等
    • 提示：

    • 通常分析上，首先查看‘门槛模型检验’，用于判断模型是否有着‘门槛效应’，只有模型有着门槛效应后才能进一步分析，否则应该使用普通回归模型比如OLS回归等。

    • 如果分析目的是多次对比各种门槛模型，那应该更多关于‘门槛模型比较’这个表格，其用于展示模型质量指标，包括RSS、MSE、R方、AIC和BIC等，RSS和MSE均为越小越好，R方一般越大越好，AIC和BIC这两个指标用于对比不同模型的优劣，该两个指标均为数值越小，模型越优，以及该两个指标相对更倾向于选择更简约的模型。

  • 5、文字分析

    模型解释的方差为1.394，占总方差的17.4%，说明解释力偏弱。F 值为1.013，p 值为0.490，远大于0.05，表示模型整体不显著。原假设为“X对Y无显著解释力”，此结果无法拒绝原假设。也即说明当前模型其实无法使用，但出于案例演示需要，继续进一步往下解读各表格。

    上表格中，总方差（Total Variance），其表示Y变量变异性的总和，反映了数据集的整体变异性；约束方差（Constrained Variance），其表示由X变量解释的响应变量变异部分，表示X对Y的影响程度；非约束方差（Unconstrained Variance），其表示未被X变量解释的变异部分，可能由随机因素或其他未测量因素引起；约束方差比例，其表示X变量对于Y的解释力度，该比例越高，说明X对Y的解释能力越强，模型的拟合度越好。

    表格中显示约束方差比例仅17.424%，即说明X对Y的解释能力一般，这也与置换检验结果为没有显著性对应。

    本次分析时共设置3个RDA，RDA1是最重要的轴，解释了 8.05% 的变异。前三轴累计解释仅 15.95%，说明数据维度分散，主轴解释力有限。

    RDA双序图是最重要结果；分析解读可参考下述：

    第一：可通过样点位置、箭头长度和方向，一图看清‘谁和谁相似’、‘什么因素重要’、‘谁受什么影响’等；

    第二：任意两样点挨的越近，则意味着该两样点越‘相似’；

    第三：箭头越长则意味着该变量的重要性越高（不论X变量或Y变量）；

    第四：样本点离某变量箭头越近，意味着该样本点与该变量之间的关系越强；

    第五：X变量和Y变量之间的夹角表示二者关系强度，如果二者是垂直90度则说明二者没有关系，越接近0度意味着二者越强的正相关关系，越接近180度说明越强的负相关关系。

    • 提示：可点击‘隐藏样点’将图中的样本点隐藏起来；除此之外，可切换RDA下拉框展示不同的RDA轴时，X与Y在RDA轴上的映射关系。

    上表格展示X变量的重要性情况；解释方差指标：其指某个X变量能够解释所有Y变量总变异的百分比，该值越大意味着该X是主要的驱动因子；解释方差= 单个X变量通过回归能预测的所有Y变量方差 ÷ Y变量总方差 × 100%，其实际意义为该X变量单独能解释多少比例的Y变量变化；X变量与RDA轴的相关性系数，该系数表示X变量与RDA轴的关系情况，该指标值较高时则意味着该X变量在该轴上的作用越大，可以辅助理解X对Y变异的具体贡献。

    上表格可以看到：X2是最强解释变量，但也仅6.072%，在RDA1和RDA2上贡献显著。X1、X4也有较高解释力，X3、X5较弱。相关系数显示变量在不同轴上的方向和强度。

    上表格展示X变量和Y变量的相关关系情况；分析上可以理解为X和Y的Pearson相关系数情况；可识别出强相关关系，绝对值较大的相关系数（如>0.5或< -0.5）表示强相关关系，可辅助分析哪些X对Y有重要关系。

  • 6、剖析

    涉及以下几个关键点，分别如下：

    • SPSSAU中RDA分析时如何标准化处理？

    • SPSSAU默认提供标准化处理，如果不选中该参数，则进行中心化处理。

    • SPSSAU中RDA分析时显著性检验？

    • RDA分析时，其通过置换检验判断环境变量的解释能力是否显著，默认置换次数是200次。