曲线回归（curvilinear regression）是指对于非线性关系的变量进行回归分析的方法。曲线回归在关系形式上是非线性关系，但可通过各类转换变成线性关系，最终建立回归模型。特别提示的地方在于：曲线回归实际上是将数学关系表达式，转换成线性表达式，然后进行线性回归分析，SPSSAU默认给出转换后的模型结果。

• SPSSAU当前提供7类曲线拟合模型，关于此7类曲线模型的线性关系转换，如下表：

  

  比如建立二次曲线拟合，最终模型表达式为：y = β0+β1*x+β2*x²

  比如建立指数曲线拟合，最终模型表达式为：ln(y)= ln(β0)+β1*x

  由于曲线拟合的特殊性，比如指数曲线，是指一个X与一个Y之间建立指数关系，因而曲线拟合时仅针对一个X。

• 本案例中自变量为时间，因变量为毒物浓度，SPSSAU操作截图如下：

  

SPSSAU会输出一个曲线拟合图，以及三个表格；分别如下：

曲线拟合图直观展示出数据间的拟合关系，上图可以明显的看出，时间和毒物浓度之间确实呈现出指数拟合关系。因而也说明数据基本呈现出指数拟合。

上表格展示出模型的R ²值，以及SPSSAU提供模型的AIC，BIC 值。R ²值表示模型的拟合情况，比如此处为0.961，意味着模型拟合中有96.1%的数据基本都呈现出指数曲线拟合关系。调整R ²值和标准误这两个指标意义较小。

如果需要拟合多种类型的曲线，并且进行对比具体那个模型更优，此时可使用AIC或BIC指标进行，AIC或BIC指标是模型对比时使用的常用指标，此两个指标值越小越好。

有效样本数量是指进入模型后的分析样本数量，曲线拟合是将非线性关系转换成线性关系后再拟合，再转换过程中，可能某些原始数据会变成NULL值，比如负数取对数，此时就会出现缺失数据，因而有效样本数量有可能低于实际样本数量。

上表格呈现出ANOVA分析结果，上表格意义在于检测模型是否有意义，此处p =0.000< 0.01，意味着模型具有拟合意义。如果此处p > 0.05则说明模型拟合没有意义，无需进行下表格分析。上表格中其它的指标数据均为中间计算过程值，基本无意义

上表展示出模型最终的关系情况，指数曲线拟合最终的模型表达式为：ln(y)= ln(β0)+β1*x。因而在此处最终为：ln(毒物浓度) = 1.171 - 0.320*时间；其中ln为取对数。

具体分析时间对于毒物浓度的影响情况来看，自变量时间呈现出0.01水平的显著性（t =-17.897,p =0.000 < 0.01）,意味着时间会对于毒物浓度产生指数关系的影响，同时回归系数值为-0.320，也即说明时间与毒物浓度之间具有负向的指数关系拟合，随着时间的推移，毒物浓度呈现出指数曲线下降。

具体文字分析例子如下：

本次研究时间与毒物浓度之间的指数曲线关系拟合，从曲线拟合图上看，可以看出时间与毒物浓度之间呈现明显的曲线拟合关系，同时模型R ²值为0.961，意味着模型拟合中有96.1%的数据基本都呈现出指数曲线拟合关系。并且模型通过ANOVA检验，p 值为0.000，意味着曲线拟合模型具有意义。

最终模型关系表达式为：ln(毒物浓度) = 1.171 - 0.320*时间；其中ln为取对数。具体分析时间对于毒物浓度的影响情况来看，自变量时间呈现出0.01水平的显著性（t =-17.897,p =0.000 < 0.01）,意味着时间会对于毒物浓度产生指数关系的影响，同时回归系数值为-0.320，也即说明时间与毒物浓度之间具有负向的指数关系拟合，随着时间的推移，毒物浓度呈现出指数曲线下降。