灰色预测GM(1,1)模型分析

灰色预测模型可针对数量非常少（比如仅4个），数据完整性和可靠性较低的数据序列进行有效预测，其利用微分方程来充分挖掘数据的本质，建模所需信息少，精度较高，运算简便，易于检验，也不用考虑分布规律或变化趋势等。但灰色预测模型一般只适用于短期预测，只适合指数增长的预测，比如人口数量，航班数量，用水量预测，工业产值预测等。

灰色预测模型有很多，GM(1,1)模型使用最为广泛，第1个数字表示进行一阶微分，第2个数字1表示只包含1个数据序列。

  • 特别提示：

  • GM(1,1)模型仅适用于中短期预测，不建议进行长期预测；

  • GM(1,1)模型适用于数量少(比如20个以内)时使用，大量数据时不适合。

灰色预测模型案例

  • 1、背景

    当前某城市1986~1992共7年的道路交通噪声平均声级数据，现希望预测出往后一期器械声平均声级数据。数据如下：

  • 2、理论

    灰色预测GM(1,1)模型一般针对数据量少，有一定指数增长趋势的数据。在进行模型构建时，通常包括以下步骤：

    • 第一步：级比值检验；

    • 此步骤目的在于数据序列是否有着适合的规律性，是否可得到满意的模型等，该步骤仅为初步检验，意义相对较小。级比值=上一期值 / 当期值。一般情况下级比值介于（e^(-2/(n+1)), e^(2/n+1)）之间（其中e为自然对数值，n为分析的样本量）间则说明很可能会得到满意的模型，但并不绝对。

    • 第二步：后验差比检验；

    • 在进行模型构建后，会得到后验差比C值，该值为残差方差 / 数据方差；其用于衡量模型的拟合精度情况，C值越小越好，一般小于0.65即可。

    • 第三步：模型拟合和预测；

    • 进行模型构建后得到模型拟合值，以及最近12期的预测值（SPSSAU默认提供最近12期预测值）

    • 第四步：模型残差检验。

    • 模型残差检验为事后多重比较法。主要查看相对误差值和级比偏差值。相对误差值=残差值绝对值 / 原始值。相对误差值越小越好，一般情况下小于20%即说明拟合良好。级比偏差值也用于衡量拟合情况和实际情况的偏差，一般该值小于0.2即可。

    • 特别提示：

    • GM(1,1)模型仅适用于中短期预测，不建议进行长期预测；

    • GM(1,1)模型适用于数量少(比如20个以内)时使用，大量数据时不适合；

    • GM(1,1)模型有提供级比值检验，后验差比检验，模型残差检验等；并非所有检验均能完美，通常在可容忍范围内即可。

  • 3、操作

    本例子针对某城市1986~1992共7年的道路交通噪声平均声级数据进行预测，操作如下：

  • 4、SPSSAU输出结果

    SPSSAU共输出4个表格和1个模型拟合预测图。分别为：

    • GM(1,1)模型级比值表格

    • 模型构建结果

    • 模型预测值表格

    • GM(1,1)模型检验表

    • 模型拟合和预测(图)

  • 5、文字分析

    从上表可知，针对城市交通噪声/dB(A)进行GM(1,1)模型构建，首先进行级比值检验，用于判断数据序列进行模型构建的适用性。级比值为上一期数据/当期数据。结果显示：级比值的最大值为1.010，级比检验值均在标准范围区间[0.779, 1.284]内（0.779和1.284由公式计算得到），意味着本数据适合进行GM(1,1)模型构建。

    从上表可知，模型构建后得到发展系数a，灰色作用量b，发展系数a和灰色作用量b值为构建模型使用值，其实际意义较小。后验比C值；后验差比C值0.231 <=0.35，意味着模型精度等级非常好。如果要使用数学公式描述模型，如下所示即可：

    上表格展示出模型的拟合值，以及向后12期的拟合数据情况，当然也可通过图形直观查看如下图，下图明显可以看出，往后时会一直下降，这是GM(1,1)模型的特征，其仅适用于中短期预测，因此向后1期和向后2期的数据具有价值，更多的预测数据需要特别谨慎对待。

    最后针对残差值进行检验，相对误差值越小越好，该值小于0.2说明达到要求，小于0.1说明达到较高要求；级比偏差值越小越好，该值小于0.2说明达到要求，小于0.1说明达到较高要求。

    从上表可知，模型构建后可对相对误差和级比偏差值进行分析，验证模型效果情况；模型相对误差值最大值0.007 <0.1，意味着模型拟合效果达到较高要求。针对级比偏差值，该值小于0.2说明达到要求，若小于0.1则说明达到较高要求；模型相对误差值最大值0.020<0.1，意味着模型拟合效果达到较高要求。

  • 6、剖析

    涉及以下几个关键点，分别如下：

    • GM(1,1)模型仅适用于中短期预测，不建议进行长期预测；

    • GM(1,1)模型适用于数量少(比如20个以内)时使用，大量数据时不适合；

    • GM(1,1)模型有提供级比值检验，后验差比检验，模型残差检验等；并非所有检验均能完美，通常在可容忍范围内即可;

    • GM(1,1)模型构建共有四个步骤，分别是：第一步：级比值检验；第二步：后验差比检验；第三步：模型拟合和预测；第四步：模型残差检验。

疑难解惑

  • 平移转换是什么意思？

  • 灰色预测GM(1,1)模型时，数据通常需要满足级比值检验，如果不满足，且选中‘平移转换’时，SPSSAU默认会自动加入一常数c值，让数据满足级比值检验后再进行灰色预测分析。

  • 级比偏差的计算公式？

  • 针对灰色预测模型GM11，级比偏差的计算公式如下：级比偏差 = 1 - [( 1–0.5*a) / (1 +0.5*a)] * 对应的级比值λ，a为发展系数。

  • SPSSAU进行灰色预测gm11时RMSEA的计算？

  • RMSEA的意义为残差平方和的平均值并且开根号，即平均的残差值情况。在灰色预测gm11模型时，其第1项的残差值永远是0，因而第1项并不纳入RMSE指标计算。

  • RMSE、MSE、MAE和MAPE这4个指标分别什么意义？

  • RMSE（均方根误差），其表示模型拟合后的平均残差情况如何，即模型拟合后真实值与预测值之间的偏差有多大，该值越小越好；

  • MSE(均方误差)，其表示模型拟合后的平均残差平方值如何，MSE开根号即为RMSE值，该值越小越好；

  • MAE（平均绝对误差），其为残差的绝对值之和，然后求平均值，其表示平均偏差是多大，与RMSE的意义基本一致，该值越小越好；

  • MAPE（平均绝对百分比误差），其为残差除以真实值的绝对值之和，然后求其平均。该值为相对指标值，其表示预测值与真实值之间gap平均偏离真实值的比例情况，比如为0.2，其表示平均偏离真实值20%左右，该值越小越好，并且该指标值具有比较意义，不同模型之间均可对比该值的相对大小，进而衡量模型优劣情况。