Poisson 回归分析

  • 试想像，你站在路旁收集闯红灯的人群情况。首先，利用秒表和计数器，第一分钟，假设有5个人闯红灯；第二分钟有4个人；而下一分钟有4个人。持续记录下去，你就可以得到一个模型，这便是“泊松分布”的原型。

    Poisson模型用于描述单位时间、单位面积或者单位容积内某事件发现的频数分布情况，通常用于描述稀有事件（即小概率）事件发生数的分布；比如1小时内闯红灯的人数；每100万人中患癌症的人数；每100万新生儿童中畸形儿童的人数；每天1万人中丢手机的人数等等。

  • 上述例子中明显的一个特点在于：低概率性，以及单位时间(或面积、体积)内的数量；通常情况下，满足以下三个条件时，则称数据满足Poisson分布，三个条件分别是：

    • 平稳性：发生频数的大小，只与单位大小有关系（比如1万为单位，或者100万为单位时患癌症人数不同）；

    • 独立性：发生频数的大小，各个数之间没有影响关系，即频数数值彼此独立没有关联关系；比如前1小时闯红灯的人多了，第2小时闯红灯人数并不会受影响；

    • 普通性：发生频数足够小，即低概率性。

    如果数据符合这类特征时，而又想研究X对于Y的影响（Y呈现出Poisson分布）；此时则需要使用Poisson回归，而不是使用常规的线性回归等。

    • 特别强调两点：

    • Y一定是每单位的数据；比如中国每个省的癌症人数，明显的，每个省的人口基数不一致，因此需要加入基数（即每省的人口总数）；

    • 如果X为定类数据，则需要进行虚拟变量设置。

  • SPSSAU分析结果表格示例如下：

    模型似然比检验汇总
    似然比卡方值 df p AIC 值 BIC 值
    1041.929 2 0.000 121.649 122.557
  • Poisson回归分析结果汇总
    项 回归系数 标准误 z 值 p 值 OR值 OR值95% CI(LL) OR值95% CI(UL)
    性别_女 -0.035 0.189 -0.187 0.852 0.965 0.666 1.399
    年龄 0.643 0.025 25.972 0.000 1.902 1.812 1.997
    截距 -9.952 0.159 -62.447 0.000 0.000 0.000 0.000
    因变量Y: 皮肤癌人数
    McFadden R 方: 0.900

Poisson 回归案例

  • 1、背景

    当前有一份数据是用来研究影响患皮肤癌的影响因素，共有两个研究因素，分别是性别和年龄；以及被影响项为‘是否皮肤肺癌’。由于Y为‘是否皮肤肺癌’，而且明显的，‘是否皮肤肺癌’这个数据满足平稳性、独立性和普通性这三个特征；因而使用Poisson回归进行研究。

    研究数据来源共从10个城市进行抽样获取所得，由于每个城市的基数并不一致，因此数据还带有10个城市的人口基数这一数据。原始数据如下：

    城市编号 性别 年龄 皮肤癌人数 人口基数
    1 2 1 1 172675
    2 2 2 16 123065
    3 2 3 30 96216
    4 2 4 71 92051
    5 2 5 102 72159
    6 2 6 130 54772
    7 2 7 133 32185
    8 2 8 40 8328
    9 1 1 4 181343
    10 1 2 38 148207

    性别中，1代表男、2代表女；年龄的数字代表年龄组别，数字越大代表年龄越大。

  • 2、理论

    Poisson回归研究X对于Y的影响关系，其中X通常为定量数据（如果X为定类数据，一般需要做虚拟(哑)变量设置），Y为Poisson分布数据。分析共分为两步：第一步是对模型整体情况进行检验；第二步具体分析X对于Y的影响情况，首先分析p 值，如果此值小于0.05，说明具有影响关系，接着再具体研究影响关系情况即可，比如是正向影响还是负向影响关系等；除此之外，还可以写出Poisson回归分析的模型构建公式，以及模型的预测准确率情况等。

    • 特别提示

    • 一定注意，Y一定要符合Poisson分布特征；

    • Poisson分布是指单位时间/面积/体积内的发生数，因而如果基数不一致时，spssau分析时，一定要放入基数这个数据。

    • 如果X为定类数据，通常情况下需要将X进行虚拟(哑)变量设置【SPSSAU中生成变量功能中有，比如本研究的性别】。

  • 3、操作

    本例子中研究X对于Y的差异；X分别为性别和年龄【其中性别为定类数据，因而做虚拟变量处理后，将性别_女放入模型，男性作为对照】，Y为‘是否皮肤肺癌’。并且带着基数，因而放置如下：

  • 4、SPSSAU输出结果

    模型似然比检验结果
    似然比卡方值 df p AIC 值 BIC 值
    1041.929 2 0.000 121.649 122.557

    第一个表格用于模型检验，模型检验的原定假设为“是否放入X模型质量均一样”，此处放入2个X分别是性别_女，年龄。而且p 值为0.000 <0.05，意味着放入2个自变量后，模型质量有明显的提升，因而拒绝原定假设，本次模型构建有意义。卡方值和df 值均为中间过程值可忽略。 以及AIC和BIC这两个指标值，可用于多个模型对比(AIC和BIC越小越好)，当前放入2个自变量可记录下AIC和BIC 值，如果多放一个自变量(即3个时)，AIC和BIC 值有着明显的下降，则可以选择3个自变量时的模型作为最终模型。

  • Poisson回归分析结果汇总
    项 回归系数 标准误 z 值 p 值 OR值 OR值95% CI(LL) OR值95% CI(UL)
    性别_女 -0.035 0.189 -0.187 0.852 0.965 0.666 1.399
    年龄 0.643 0.025 25.972 0.000 1.902 1.812 1.997
    截距 -9.952 0.159 -62.447 0.000 0.000 0.000 0.000
    因变量Y: 皮肤癌人数
    McFadden R 方: 0.900

    第二个表格用于研究X对于Y的影响关系情况，表格中有意义的指标信息包括：p 值，回归系数和R Pseudo R 2。其它指标包括标准误，z 值，95% CI值意义相对较小。

  • 5、文字分析

    模型似然比检验汇总
    似然比卡方值 df p AIC 值 BIC 值
    1041.929 2 0.000 121.649 122.557

    进行Poisson回归模型构建时，首先对于模型检验进行分析，模型假假设为是否放入自变量时质量均一致。从上表可知，p 值为0.000 <0.05，意味着本次模型构建有意义。

  • Poisson回归分析结果汇总
    项 回归系数 标准误 z 值 p 值 OR值 OR值95% CI(LL) OR值95% CI(UL)
    性别_女 -0.035 0.189 -0.187 0.852 0.965 0.666 1.399
    年龄 0.643 0.025 25.972 0.000 1.902 1.812 1.997
    截距 -9.952 0.159 -62.447 0.000 0.000 0.000 0.000
    因变量Y: 皮肤癌人数
    McFadden R 方: 0.900

    从上表可知，将性别_女, 年龄共2项为自变量，而将皮肤癌人数作为因变量进行Poisson回归分析，从上表可以看出，模型伪R 2值（Pseudo R 2）为0. 900，意味着性别， 性别和年龄可以解释皮肤癌患病的90.0%变化原因。从上表可知：模型公式为：log(u)=log(人口基数) -9.952-0.035*性别_女 + 0.643*年龄(其中u代表期望均数)。最终具体分析可知：

    • 性别_女的回归系数值为-0.035，但是并没有呈现出显著性(p =0.852>0.05)，意味着相对于男性来讲，女性患皮肤癌情况并没有明显的差异，也即说明性别对于患皮肤癌并不会产生影响。

    • 年龄的回归系数值为0.643，并且呈现出0.01水平的显著性(p =0.000 <0.01)，意味着年龄会对患皮肤癌产生显著的正向影响关系。以及优势比(OR值)为1.902，意味着年龄增加一个单位时，患皮肤症的的概率增加1.902倍。

    • 总结分析可知：年龄会对皮肤癌人数产生显著的正向影响关系。但是性别并不会对皮肤癌人数产生影响关系。

  • 6、剖析

    Poisson回归分析涉及以下几个关键点，分别如下：

    • Poisson分布是指单位时间/面积/体积内的发生数，因而如果基数不一致时，spssau分析时，一定要放入基数这个数据。

    • 如果X是定类数据，此时需要对X进行虚拟(哑)变量设置【虚拟变量设置参考: https://www.spssau.com/helps/otherdocuments/dummy.html 】。

    关于‘加权数据格式’的详细说明参考：https://www.spssau.com/helps/otherdocuments/dataformat.html

疑难解惑

  • O检验的意义？

  • Poisson回归要求数据等离散（即平均值和方差一致），O检验用于检测数据是否等离散。如果O值绝对值大于1.96（此时p 值小于0.05），则说明数据过离散，此时可考虑使用负二项回归进行研究。如果O值绝对值小于1.96 （此时p 值大于0.05），则说明数据等离散，此时数据适合使用Poisson回归

  • SPSSAU的Poisson回归时基数是什么意思？

  • 泊松回归中基数是基于某个数字的意思，比如有30个省每年癌症患者人数，但是癌症患者人数是基于某省所有人数时才有对比意义。

  • 泊松检验没有输出结果？

  • SPSSAU中，如果‘发生次数’>100则不输出该项的分析结果。默认情况下泊松分布数据具有发生次数很低但会稳定发生等特点，如果平均的发生次数即lambda值大于20，此时数据不应该是泊检分布数据，而应该考虑其正态性特质。