RDD断点回归案例

• 1、背景

  一般来讲美国民主党更倾向于更多的联邦支出，案例研究是否民主党获选对于联邦支出的影响。通常情况下如果得票率大于50%即会获选，反之小于50%则会落选。因而得票率则为驱动变量X，此处0.5则可作为断点cutoff值（研究中为了方便使用，因而将得票率 – 0.5）作为驱动变量，即最终cutoff值为0，大于0则应该获选，小于0则应该落选）。结果变量Y为联邦支出。而且还包括另外2个控制变量。除此之外，还包括另外一个变量‘是否获选’作为判断是否模糊断点。本案例数据使用Stata软件的votex.sta数据，各数据的定义如下：

  项	变量简称	变量说明
  结果变量Y	y	Log fed expenditure in district
  处理变量或驱动变量X	x	Dem vote share minus .5
  模糊变量fuzzy项	fuzzy	Dem Won Race
  控制变量	control1	Incumbent
  控制变量	control2	Voting Age Population Share

• 2、理论

  RDD断点回归的分析知识点相对较多，从分析步骤包括，具体可精确断点或模糊断点的选择，模型选择，模型基本假定分析，模型分析，模型稳健性检验等。具体分为以下5步。

  第一步、精确断点和模糊断点判断

  判断精确断点或模糊断点的思路在于处理变量X被cutoff分为左右两侧后，是否真正决定‘实验走向’，比如本案例中cutoff值分成两组后即认为‘民主党是否当选’（命名为new_x），而fuzzy模糊项即真实是否当选项，如果与new_x与fuzzy项没有特别明显的不一致，甚至完全一样，此时则应该使用精确断点。反之如果new_x与fuzzy项有着明显的差异，此时使用模糊断点较为适合。

  第二步、模型选择，通常指模型阶数的判断

  研究X对于Y的影响时，二者的关系是线性关系（一阶），还是曲线二阶关系，也或者三阶关系。可首先通过图示直观查看，并且得出结论。待定模型阶数后，后续分析基于该阶数进行分析使用。至于‘带宽值’或者‘核函数’，通常默认即可，SPSSAU会自动找出最优带宽值，默认使用triangular三角核函数。

  第三步、模型基本假定分析

  RDD模型通常包括着一定的假设，通常包括‘断点适用性检验’和‘局部平滑性检验’。如下所述：

  假定	说明	SPSSAU是否提供
  断点适用性检验	驱动变量不应存在人为操控，正常情况下断点cutoff值附近样本量基本一致才会具有随机性	通过图示直接查看断点左右两侧样本量密集性情况，如果出现一侧明显更多样本点则说明不适合
  局部平滑性检验	如果有控制变量，那么控制变量在断点处不应该存在明显的跳跃现象	将控制变量看成‘驱动变量X’进行分析，图示查看即可

  第四步、模型分析

  在上述确认好精确或模糊断点，并且确定好模型阶数，并且模型适合时，则开始分析X对于Y的影响关系情况。

  第五步、模型稳健性检验

  模型分析后，还需要对模型稳健性进行检验。模型稳健性检验有多种方式，包括更换核函数法、更换断点值法，是否加入控制变量法，更换带宽值法，更换阶数，改变样本选择法，如下表格所述。

  稳健性检验方式	说明	SPSSAU是否提供
  更换核函数	更换不同核函数时结论是否稳定	研究者更换核函数
  更换断点	更改不同断点值时，结论是否稳定	研究者更换断点
  是否加入控制变量	是否加入控制变量时，结论是否稳定（断点安慰剂检验Placebo Tests）	研究者更换模型，即是否加入控制变量
  换带宽	更换带宽值时，结论是否稳定	自动提供，且提供coefplot图
  换阶数	更换阶数时，结论是否稳定	研究者更换阶数
  样本选择	更换筛选样本时，结论是否稳定	研究者自行处理

• 3、操作

  第一步、精确断点和模糊断点判断

  将X按cutoff值0分为两组，并且与fuzzy项进行交叉卡方分析。操作截图分别如下：

  

  使用SPSSAU数据处理->数据编码功能，并且选择‘范围编码’，将x按cutoff值0分为两组（可通过描述分析得到x的最小值为-0.276，最大值0.470）。系统会自动生成一个新标题‘New_x’，将该项与fuzzy项进行交叉卡方，得到如下结果：

  

  New_x代表x分为两组后的新变量，0代表cutoff值左侧（落选），1代表cutoff值右侧（当选）。而fuzzy项里面的0和1代表真实情况下‘是否当选’（0为落选，1为当选）。从上表格可以看到：二者数据完全一致，按cutoff值得到的131个‘落选’样本真实情况下也是‘落选’，按cutoff值得到的218个‘当选’样本真实情况下也是‘当选’。即意味着应该使用精确断点。

  • 提示：

  • 实际研究中，如果数据的gap较小，此时也可直接使用精确断点回归。

  确认好为精确断点模型之后，接着进行第二步。

  第二步、模型阶数判断

  模型阶数判断时使用直观图示法。即首先进行模型分析，通过图示查看模型应该是一阶、二阶或三阶更加适合。首先操作如下图：

  

  首先放入结果变量y，驱动变量x，2个控制变量。以及设置好断点值为0（默认不设置即结果变量的中位数），选中‘绘图’复选框。至于另外4个参数（带宽值、核函数、阶数和稳健性检验）默认即可。此步骤主要查看绘图，用于确认‘阶数’。得到图形如下：

  

  从上图可以看到，最左侧‘线性拟合’即一阶时或者中间‘二次型拟合’即二阶时，模型拟合相对较好。可能‘二次型拟合’相对更适合。因而确定模型为二阶。并且后续以二阶为准进行分析。另外从上面三个图可以看到，断点值左右两侧附近的样本量基本均匀，即说明断点值选择适合没有受到人为操纵。

  第三步、模型基本假定分析

  模型基本假定分析时，通常包括‘断点适用性检验’和‘局部平滑性检验’。关于‘断点适用性检验’如果说cutoff值两侧附近的断点样本量基本均匀则说明断点选择适合，不受人为操纵。从第二步中得到的图形也可以看出，断点值附近两侧的点基本差不多，说明当前案例设置的断点值准确，并没有受到人为操纵干扰。

  除此之外，还需要查看‘局部平滑性检验’，即分别将控制变量作为驱动变量X进行断点回归，通过图示法查看断点值是否在控制变量身上也起效果，即‘同样的断点值不应该在控制变量身上也起作用’，此检验通常并不完全需要。并且有时候控制变量并不能被当前断点cutoff值区分为两侧因而不能进行分析，本案例即是此类情况，本案例不进行‘局部平滑性检验’。

  第四步、模型分析

  第一步确认好模型为精确断点，并且第二步确定为二阶模型最优，而且满足基本模型假定。因而进行操作，准备得到最终结果。操作如下图所示：

  

  分别设置结果变量y，驱动变量x，2个控制变量。以及设置好断点值为0（默认不设置即结果变量的中位数），设置为‘二阶’，选中‘稳健性检验’复选框。至于另外2个参数（带宽值、核函数）默认即可，并且将‘绘图’复选框取消（因为已经不再需要通过图示查看阶数）。此步骤为了得到最终结果。见‘SPSSAU输出结果’部分说明。

  第五步、模型稳健性检验

  在得到模型最终结果时，选中‘稳健性检验’复选框，系统默认提供不同带宽值（0.25倍、0.5倍、0.75倍、1倍、1.25倍、1.5倍、1.75倍和2倍共8个不同带宽值）时的结果，便于进行稳健性检验查看，实际研究中，可能并不需要8个不同带宽值情况下的结果对比，通常只需要1倍带宽值附近（比如0.75倍、1倍和1.25倍）共3项带宽值时结果对比，如果结论基本稳定即说明模型具有稳健性。

  模型稳健性检验并没有固定的做法，只要可以证明模型具有稳健性（不同情况下模型结论基本一致则说明具有稳健性），具体稳健性方式上有很多种，一般使用1种或2种即可并没有固定标准。

  至于其它的方式，比如‘更换核函数’法，‘更换断点’法，‘是否加入控制变量’法，‘更换阶数’法和‘样本选择法’。研究者可自行更换模型进行结果对比研究。尤其是‘更换核函数’法，‘是否加入控制变量’法和‘更换阶数’这3种方式，其操作简单方便，只需要在SPSSAU系统中下拉选择下参数更换即可进行，建议研究者尝试使用查看对比即可。比如‘更换核函数法’，操作截图如下所示：

  

  SPSSAU默认是使用‘triangular三角核函数’，可选为‘Epanechnikov核函数’和‘Uniform核函数’，来回切换另外两个核函数，将结果进行汇总对比即可，如果结论基本一致则说明模型具有稳健性。

• 4、SPSSAU输出结果

  针对本案例结果，即‘精确断点’且‘二阶模型’时结果，SPSSAU共输出表格和图形，具体说明如下：

  名称	说明
  RDD基本情况	展示结果变量、处理变量、控制变量或fuzzy项对应的项名称
  RDD参数情况	展示模型的参数值情况，包括断点值，带宽值，核函数，阶数和是否进行稳健性检验
  RDD样本数据情况	展示RDD断点模型，断点值及断点两侧的样本量情况
  RDD断点回归结果汇总	展示模型最终结果
  稳健性检验-不同带宽时	展示不同带宽值时，模型汇总结果
  稳健性检验（基于不同带宽）	不同带宽值时模型回归系数95%置信区间coefplot图

• 5、文字分析

  本案例得到最终结果，包括RDD基本情况、RDD参数情况、RDD样本数据情况、RDD断点回归结果汇总，稳健性检验结果和稳健性检验coefplot图，分别说明如下：

  RDD基本情况

  项	名称
  结果变量	y
  处理变量或驱动变量	x
  控制变量	control1
  	control2
  Fuzzy模糊项	-

  从上表格可以看到结果变量、处理变量、控制变量或fuzzy项对应的项名称，本案例中有两个控制变量，另本案例最终为精确断点，因而没有设置fuzzy模糊项。

  RDD参数情况

  参数	名称
  断点值	0
  带宽值	0.096
  核函数	triangular
  阶数	2阶
  稳健性检验	是

  从上表可以看到，断点值为0，并且没有设置过带宽值，模型自动计算出‘最优带宽值’为0.096，并且默认使用三角triangular核函数，模型设定为2阶。以及选中‘稳健性检验’，SPSSAU自动会提供不同带宽值时模型汇总结果。

  RDD样本数据情况

  项	数据
  断点值	0
  断点值左侧样本量	131
  断点值右侧样本量	218
  分析样本量	349

  上表格可以看到，断点值为0，断点值左侧样本量为131个，右侧为218个，总共分析样本量为349个。

  RDD断点回归结果汇总

  Method	Coef.	Std. Err.	z 值	p 值	95% CI
  Conventional	-0.432	0.257	-1.678	0.093	-0.937 ~ 0.073
  Bias-Corrected	-0.494	0.257	-1.917	0.055	-0.998 ~ 0.011
  Robust	-0.494	0.288	-1.716	0.086	-1.057 ~ 0.070

  上表格可模型结果核心表格，从上表格可以看到，p 值均大于0.05，但是小于0.1，也即意味意味着如果以0.1作为显著性水平，那么回归系数呈现出显著性，如果以0.05作为标准，则说明没有显著性。无论是Conventional法，也或者校正bias法（Bias-Corrected），也或者稳健法检验robust时。

  • 提示：

  • 断点回归时对于回归系数的检验共提供3种方式，分别是Conventional法、Bias- Corrected和Robust法，三种方式并没有优劣之分。通常使用其中一种即可，比如Conventional法。下述基于不同带宽稳健性检验时默认汇总Conventional法。

  稳健性检验-不同带宽时

  带宽值	Coef.	Std. Err.	z 值	p 值	95% CI
  0.024(0.25倍)	-0.255	0.533	-0.478	0.633	-1.299 ~ 0.789
  0.048(0.5倍)	-0.69	0.398	-1.732	0.083	-1.471 ~ 0.091
  0.072(0.75倍)	-0.544	0.312	-1.742	0.081	-1.156 ~ 0.068
  0.096(1倍)	-0.432	0.257	-1.678	0.093	-0.937 ~ 0.073
  0.119(1.25倍)	-0.439	0.235	-1.864	0.062	-0.900 ~ 0.023
  0.143(1.5倍)	-0.35	0.22	-1.59	0.112	-0.781 ~ 0.081
  0.167(1.75倍)	-0.218	0.202	-1.081	0.28	-0.613 ~ 0.177
  0.191(2倍)	-0.143	0.19	-0.751	0.452	-0.515 ~ 0.230

  由于本案例时选择‘稳健性’检验，因而SPSSAU提供上表格展示不同带宽值（0.25倍、0.5倍、0.75倍、1倍、1.25倍、1.5倍、1.75倍和2倍共8个不同带宽值）时回归系数显著性检验结果，默认汇总Conventional法的显著性检验结果。从上表格可以看到，8种情况下时，只有其中4种带宽下呈现出0.1水平显著性，另外远离1倍较远的带宽时并没有呈现出显著性。

  整体上看，如果模型以0.1作为显著性水平，那么模型具有一定的稳健性（如果是0.05作为标准，则稳健性非常强，因为全部p值均大于0.05）。建议还可进一步通过其它方式，比如‘更换核函数’法，‘是否加入控制变量’法和‘更换阶数’等进一步查看。本案例中如果使用‘更换核函数’，‘是否加入控制变量’或者‘更换阶数’，也会有出现0.1水平显著的结论（但并不完全是）,但全部均会出现0.05水平不显著的结论，即意味着如果模型以0.1作为显著性标准，此时模型稳健性较弱，而模型以0.05水平作为标准，此时模型稳健性非常强，无论如何显著性值均大于0.05，最终模型以0.05作为显著性水平，即意味着模型并不显著，即‘民主党当选对于联邦支出并没有实际性影响’，并且此结论非常稳健。

  

  上图为基于不同带宽时，模型回归系数95%置信区间进行展示的coefplot图，从图中可以看到，8种不同带宽时，95%置信区间均包括数字0，即明显的可以看到，模型在0.05水平上不显著，此结论稳定。

• 6、剖析

  • 涉及以下几个关键点，分别如下：

  • RDD断点回归时，分析步骤较多，建议逐步进行，且在判断时尽量多的对比综合分析，而不能只查看某一个模型基础上得到最终结论；

  • 多数情况下使用精确断点，如果确实有非常强的理由证明应该使用模糊断点，也可使用模糊断点；

  • 模型阶数判断上结合图示进行，但带有一定的主观性，建议对比选择；

  • 模型假定分析时，图示直观上满足即可，不太可能模型完美的满足；

  • 模型分析时有3种显著性检验方式，选择其中一种即可；

  • 模型稳健性检验有很多种方式，通常选中一个或者两个即可。

  • 如果不设置断点值，默认系统会以结果变量的中位数作为断点值。