自相关acf/偏自相关pacf图分析

自相关图acf和偏自相关图pacf，此两个图通常是用于判断时间序列ARMA模型的使用。ARMA模型由AR模型，MA模型组成（如果提及为ARIMA模型，I表示差分阶数，与自相关图和偏自相关图判定阶数无关）。

SPSSAU会自动进行结合自相关图acf和偏自相关图pacf进行判定，同时研究人员也可以自行结合图形进行判定。以及特别提示，判断时间序列模型时，一定是结合自相关图和偏自相关图共同进行判断，而不是只看一个图。关于ARMA通用判断标准说明如下表格：

模型 自相关图 偏自相关图
AR(p) 拖尾 p阶截尾
MA(q) q阶截尾 拖尾
ARMA(p,q) 拖尾 拖尾
模型不适合 截尾 截尾

通常情况下，如果说自相关图拖尾，并且偏自相关图在p阶截尾时，此模型应该为AR(p)。如果说自相关图在q阶截尾并且偏自相关图拖尾时，此模型应该为MA(q)。如果说自相关图和偏自相关图均显示为拖尾，那么可结合ACF图中最显著的阶数作为q值，选择PACF中最显著的阶数作为p值，最终建立ARMA(p,q)模型。如果说自相关图和偏自相关图均显示为截尾，那么说明不适合建立ARMA模型。

上述说明中涉及两个名称，分别是拖尾和截尾，分别说明如下：

拖尾：始终有非零取值，不会在大于某阶后就快速趋近于0（而是在0附近波动），可简单理解为无论如何都不会为0，而是在某阶之后在0附近随机变化。

截尾：在大于某阶(k)后快速趋于0为k阶截尾，可简单理解为从某阶之后直接就变为0。

    特别提示

  • SPSSAU默认会提供p值和q值的建议，由于自相关和偏自相关图的解读带有较强的主观柔性，因而SPSSAU建议研究人员可自行解读图形选择最优的p值和q值。

  • 结合自相关图和偏自相关图判断时间序列模型时，一定是结合自相关图和偏自相关图共同进行判断，而不是只看一个图。

  • 自相关图和偏自相关图的解读带有一定的主观柔性，无绝对的标准。同样的图不同的研究人员可能解读不完全相同。建议在进行ARMA模型构建时，还可以结合AIC值的大小对比选择最优模型（AIC值越小模型相对更优）。

  • 关于拖尾和截尾的简单解读上，如果值无论如何都不趋近于0，那么为拖尾；如果值快速趋近于0，则为截尾。

自相关acf/偏自相关pacf图案例

  • 1、背景

    当前已经有阿里“双十一”历年（2009~2019年）的销售数据，现希望通过自相关图和偏自相关图去判断ARMA模型的阶数。数据如下：

    年份 阿里双十一销售额（亿元）
    2009 0.5
    2010 9.36
    2011 52
    2012 191
    2013 350
    2014 571
    2015 912
    2016 1207
    2017 1682.69
    2018 2135
    2019 2684

  • 2、理论

    自相关图acf和偏自相关图pacf，此两个图通常是用于判断时间序列ARMA模型的使用。判断时间序列模型时，一定是结合自相关图和偏自相关图共同进行判断，而不是只看一个图。关于ARMA通用判断标准说明如下表格：

    模型 自相关图 偏自相关图
    AR(p) 拖尾 p阶截尾
    MA(q) q阶截尾 拖尾
    ARMA(p,q) 拖尾 拖尾
    模型不适合 截尾 截尾

    通常情况下，如果说自相关图拖尾，并且偏自相关图在p阶截尾时，此模型应该为AR(p)。如果说自相关图在q阶截尾并且偏自相关图拖尾时，此模型应该为MA(q)。如果说自相关图和偏自相关图均显示为拖尾，那么可结合ACF图中最显著的阶数作为q值，选择PACF中最显著的阶数作为p值，最终建立ARMA(p,q)模型。如果说自相关图和偏自相关图均显示为截尾，那么说明不适合建立ARMA模型。

  • 3、操作

    本例子操作截图如下，默认不进行差分，当然一般情况下需要先进行ADF检验确认差分阶数后再进行自相关和偏自相关图分析：

  • 4、SPSSAU输出结果

    SPSSAU共输出ACF和PACF两个图形，并且针对p值和q值提供智能分析建议。

  • 5、文字分析

    从自相关ACF图可知，可以理解其为4阶截尾，也或者理解为拖尾现象，但一般情况下4阶会比较大，因而暂认为当前数据为拖尾现象。接着还需要分析偏自相关图PACF，如下：

    从偏自相关图PACF可以看出，明显可以看出：从3阶开始快速趋近于0，意味着在3阶截尾（也可以看成是2阶截尾，或者4阶截尾均可）。结合判断标准可知：自相关图为拖尾，偏自相关图为3阶截尾。因此最终模型选择为AR(3)较为适合。

    模型 自相关图 偏自相关图
    AR(p) 拖尾 p阶截尾
    MA(q) q阶截尾 拖尾
    ARMA(p,q) 拖尾 拖尾
    模型不适合 截尾 截尾

    关于上述两个图的解读上，通常需要结合研究人员的主观判断加以定夺（并且很多时候可以有多个候选模型），此时研究人员可直接使用ARMA模型进行分析，并且对比AIC值等，选出最优的ARMA模型，比如本案例中可以建立出2个ARMA模型分别是：AR(3),AR(2)，具体哪个更优则对比2个ARMA模型时的AIC值，那个模型的AIC值更小最终就使用哪个，如下表可以看出AR(3)相对更优（AIC值相对更小），因此最终使用AR(3)模型即可，与此同时，还可尝试结合其它模型比如AR(4)进行综合对比。

    模型 AIC值
    AR(3) 135.561
    AR(2) 143.059

  • 6、剖析

    涉及以下几个关键点，分别如下：

    • 结合自相关图和偏自相关图判断时间序列模型时，一定是结合自相关图和偏自相关图共同进行判断，而不是只看一个图。

    • 自相关图和偏自相关图的解读带有一定的主观柔性，无绝对的标准。同样的图不同的研究人员可能解读不完全相同。建议在进行ARMA模型构建时，还可以结合AIC值的大小对比选择最优模型（AIC值越小模型相对更优）。

    • 关于拖尾和截尾的简单解读上，如果值无论如何都不趋近于0，那么为拖尾；如果值快速趋近于0，则为截尾。

    • SPSSAU智能分析默认会提供p值和q值的建议，仅供研究人员参考使用。