多元方差分析MANOVA

  • 方差分析是研究X对于Y的差异关系，此处X是定类数据，Y是定量数据。当X的个数或者Y的个数超过一个时，其又可具体进行细分，如下表格所述。

    X个数 Y个数 分析方法名称 SPSSAU位置
    1 1 单因素方差 通用方法-》方差
    多个 1 多因素方差 进阶方法-》双因素方差/三因素方差/多因素方差
    1个或多个 多个 多元方差MANOVA 进阶方法-》多元方差MANOVA

    如果X仅1个且Y仅1个，此时称作单因素方差分析，此种情况的使用频率最高，绝大多数分析均是此种单因素方差分析，在SPSSAU通用方法的‘方差’按钮即可实现，并且SPSSAU可让放入多个X，循环进行单因素方差分析。如果X的个数大于1个并且Y仅1个时，此时可统称为多因素方差，即X的个数大于1个，具体细分上出于X的具体个数又可称作双因素/三因素等，甚至四因素方差（即X为4个Y为1个）。如果Y的个数大于1个（此时不论X个数1个或多个），均称作多元方差（多因变量方差，multivariate analysis of variance，简称MANOVA）。与此同时，在方差分析如果还有协变量，那么也称作协方差分析（此称呼是为了强调有协变量而已）。

    绝大多数情况下，我们都会使用单因素方差（其默认就称作方差分析），其具有较强的稳健性能，检测结果容易接受。但在相关实验数据情况下，则会使用到多因素方差或者多元方差MANOVA，事实上多元MANOVA的Y为多个，其有点类似于重复性多个Y进行方差，但其考虑多个Y间的关系，即考虑到SSCP矩阵（平方和与叉积矩阵，其用于衡量Y自身波动以及Y之间协作波动情况），因而当有多个Y时，可考虑使用多元方差分析MANVOA。具体是否应该使用多元方差分析MANOVA，建议以文献依据，或者对比着不同方法进行决择。

多元方差分析MANOVA案例

  • 1、背景

    当前有一份医学研究数据共1481条，包括两个Y和两个X（具体X或Y的意义此处不进行说明），数据如下：

    2个X均为定类数据，两个Y均为定量数据，本案例暂没有协变量数据。

  • 2、理论

    • 多元方差分析MANOVA时，通常情况下其需要满足几项假定条件，分别如下所述：

    • 因变量Y需要满足正态性；

    • 样本数据之间相互独立；

    • 组间方差协方差矩阵相等，即方差齐性。

    上述3条要求时，第1条因变量Y需要满足正态性，如果研究数据较多比如大于30（大样本的划分标准），通常可忽略该假定条件，SPSSAU默认提供“Shapiro-Wilk多元正态性检验”。样本数据之间不能有关联性，比如第1行数据影响到第2行数据等。数据还需要满足方差齐性，即进行方差齐检验，方差分析具有较强的稳健性，很多时候即使不满足方差齐性，也可得到科学结论，因而有时候并不关注此前提条件。SPSSAU默认提供“协方差矩阵Box方差齐性检验”结果。

    需要提示的是：样本数据之间相互独立较容易满足。但是因变量Y满足正态性，以及方差齐性这两个条件，很多时候并不容易满足，实际分析研究时，如果是实验式数据，其数据相关规整且偏离两个条件（正态和方差齐性）的幅度不大，因而通常可‘容忍式接受’即直接使用MANOVA。但如果是非实验式数据比如问卷研究数据，此种情况不建议使用MANOVA，因为此类数据时容易出现某个X的类别样本很多或者很少，即X的类别极其不均匀，并且因变量Y并不是完全的连续式数据，因而导致数据极其不满足正态或者方差齐性，严重违反前提条件因而得出的结论不科学。

  • 3、操作

    本例子中操作截图如下，默认选中二阶效应和三阶效应，二阶效应是指任意两个X之间的交互效应，三阶效应指任意3个X之间的交互效应（需要注意的是，SPSSAU提供的多元方差MANVOA分析时最多支持3个X）。

  • 4、SPSSAU输出结果

    多元方差分析MANOVA一共输出4个表格，说明如下：

    表格名称 说明
    多变量检验结果 展示多变量检验结果，查看组间差异信息等
    单变量检验结果 展示某个因变量Y时对应的检验结果，循环输出
    协方差矩阵Box方差齐性检验 展示方差齐性检验结果
    Shapiro-Wilk多元正态性检验 展示正态性检验结果

  • 5、文字分析

    多变量检验结果表格，其展示四种检验，分别是Pillai's Trace法、Wilks' Lambda法、Hotelling's Trace法和Roy's 最大根法，四种检验的功能一致，其均用于检验组间是否存在着差异性，但具体使用哪一种检验结果并无固定式标准。通常情况下，建议查阅“Wilks' Lambda法”，因为其对应的‘值’，其意义为组内差异除以总差异，比如上表格中X1为0.974，共意义为组内差异为97.4%，组间差异则为2.6%，一般关注的是组间差异，因而希望Wilks' Lambda值越小越好。但另外3种检验时的‘值’并无此特点。另外，相对来看，使用Pillai's Trace法进行差异显著性查看的情况相对较多。

    通过最后四列分别是F 值，两个自由度值和p 值，如果对应的p 值小于0.05，那么说明该项（比如上表格中的X1、X2或者交互项X1:X2）的组间差异是否具有显著性，即整体上看某项对于整体Y是否具有差异性。上表格可以看到，如果使用Pillai's Trace法结果，那么X1和X2均呈现出显著性，即具有显著的组间差异，并且4个检验的结论均具有一致性，即更加可靠的结论为X1和X2均对于Y具有显著性差异，但是X1与X2的交互项显示不具有显著性（3个检验时的p 值>0.05，仅Roy's 最大根法的p 值=0.049<0.05），此种情况一般以交互项不具有显著性作为结论。

    多变量检验结果是针对X对于所有Y的差异检验，那么接着还需要查看X对于具体每个Y的差异，因而可查阅接下来的单变量检验结果表格（如果从分析上，也可直接使用SPSSAU进阶方法里面的多因素方差分析进行研究）。

    上表格展示y1时的检验结果，显示x1呈现出显著性，但是x2并没有呈现出显著性，交互项呈现出显著性。这与多变量检验结果不一致，多变量检验结果显示x1或x2均有显著性但交互项不具有显著性，此种情况较为正常。在分析流程上，如果是使用多元方差MANOVA，意味着将Y作为整体考虑，因而首先需要满足多变量检验，然后再看具体每个Y时即单变量检验结果，在多变量检验结果时显示交互项不具有显著性，分析上可直接不考虑接下来单变量检验结果的交互项，即使其呈现出显著性。与此同时上表格还展示出效应量结果偏Eta方值，以研究值实际需要进行取舍使用即可。

    类似地，可查阅y2时的单变量检验结果，其显示x1呈现出显著性，但是x2并没有呈现出显著性，交互项呈现出显著性。这与多变量检验结果不一致，多变量检验结果显示x1或x2均有显著性但交互项不具有显著性。

    上表格展示方差齐检验结果，Box’s M检验的原假设是具有方差齐性，如果p 值>0.05则意味着数据具有方差齐性，反之意味着数据不具有方差齐性。本案例结果显示数据不具有方差齐性，但正如上述所述，多元方差MANOVA分析具有较强稳健性，因而本处也依旧使用上述结果。

    上表格展示正态性检验结果，Shapiro-Wilk检验的原假设是具有正态性，如果p 值>0.05则意味着数据具有正态性，反之意味着数据不具有正态性。上表格显示整体上数据不具有正态性。当然研究者可分别针对每个Y进行正态性检验等均可，本案例数据有1481条且为连续数据，因而不考虑正态性这一前提假定条件。

  • 6、剖析

    多元方差分析MANOVA分析涉及以下几个关键点，分别如下：

    • 多元方差分析MANOVA时，如果希望进行事后多重比较?

    • 此时应该使用SPSSAU进阶方法里面的具体方法，分别重复进行，比如2个X时使用双因素方差分析。

    • 多元方差分析MANOVA时，希望进行简单效应分析?

    • 此时应该使用SPSSAU进阶方法里面的具体方法，分别重复进行，比如2个X时使用双因素方差分析。

    • 多变量检验结果与单变量检验结果不一致?

    • 多变量检验结果是针对所有因变量Y的差异检验，并且其考虑变量Y间的协同变化差异，因而二者结果不一致是正常现象。

    • 多变量检验结果的四种检验应该使用哪一种?

    • 多变量检验共提供四种检验，具体使用哪一种并没有固定标准。一般使用Wilks' Lambda法查看组间差异。相对来看，使用Pillai's Trace法进行差异显著性查看的情况相对较多。