• 试想像，你站在路旁收集闯红灯的人群情况。首先，利用秒表和计数器，第一分钟，假设有5个人闯红灯；第二分钟有4个人；而下一分钟有4个人。持续记录下去，你就可以得到一个模型，这便是“泊松分布”的原型。

  Poisson模型用于描述单位时间、单位面积或者单位容积内某事件发现的频数分布情况，通常用于描述稀有事件（即小概率）事件发生数的分布；比如1小时内闯红灯的人数；每100万人中患癌症的人数；每100万新生儿童中畸形儿童的人数；每天1万人中丢手机的人数等等。

• 上述例子中明显的一个特点在于：低概率性，以及单位时间(或面积、体积)内的数量；通常情况下，满足以下三个条件时，则称数据满足Poisson分布，三个条件分别是：

  • 平稳性：发生频数的大小，只与单位大小有关系（比如1万为单位，或者100万为单位时患癌症人数不同）；

  • 独立性：发生频数的大小，各个数之间没有影响关系，即频数数值彼此独立没有关联关系；比如前1小时闯红灯的人多了，第2小时闯红灯人数并不会受影响；

  • 普通性：发生频数足够小，即低概率性。

  如果数据符合这类特征时，而又想研究X对于Y的影响（Y呈现出Poisson分布）；此时则需要使用Poisson回归，而不是使用常规的线性回归等。

  • 特别强调两点：

  • Y一定是每单位的数据；比如中国每个省的癌症人数，明显的，每个省的人口基数不一致，因此需要加入基数（即每省的人口总数）；

  • 如果X为定类数据，则需要进行虚拟变量设置。

• SPSSAU分析结果表格示例如下：

  模型似然比检验汇总
  似然比卡方值	df	p	AIC 值	BIC 值
  1041.929	2	0.000	121.649	122.557

• Poisson回归分析结果汇总
  项	回归系数	标准误	z 值	p 值	OR值	OR值95% CI(LL)	OR值95% CI(UL)
  性别_女	-0.035	0.189	-0.187	0.852	0.965	0.666	1.399
  年龄	0.643	0.025	25.972	0.000	1.902	1.812	1.997
  截距	-9.952	0.159	-62.447	0.000	0.000	0.000	0.000
  因变量Y: 皮肤癌人数
  McFadden R 方: 0.900

  

Poisson 回归案例

• 1、背景

  当前有一份数据是用来研究影响患皮肤癌的影响因素，共有两个研究因素，分别是性别和年龄；以及被影响项为‘是否皮肤肺癌’。由于Y为‘是否皮肤肺癌’，而且明显的，‘是否皮肤肺癌’这个数据满足平稳性、独立性和普通性这三个特征；因而使用Poisson回归进行研究。

  研究数据来源共从10个城市进行抽样获取所得，由于每个城市的基数并不一致，因此数据还带有10个城市的人口基数这一数据。原始数据如下：

  城市编号	性别	年龄	皮肤癌人数	人口基数
  1	2	1	1	172675
  2	2	2	16	123065
  3	2	3	30	96216
  4	2	4	71	92051
  5	2	5	102	72159
  6	2	6	130	54772
  7	2	7	133	32185
  8	2	8	40	8328
  9	1	1	4	181343
  10	1	2	38	148207

  性别中，1代表男、2代表女；年龄的数字代表年龄组别，数字越大代表年龄越大。

• 2、理论

  Poisson回归研究X对于Y的影响关系，其中X通常为定量数据（如果X为定类数据，一般需要做虚拟(哑)变量设置），Y为Poisson分布数据。分析共分为两步：第一步是对模型整体情况进行检验；第二步具体分析X对于Y的影响情况，首先分析p 值，如果此值小于0.05，说明具有影响关系，接着再具体研究影响关系情况即可，比如是正向影响还是负向影响关系等；除此之外，还可以写出Poisson回归分析的模型构建公式，以及模型的预测准确率情况等。

  • 特别提示

  • 一定注意，Y一定要符合Poisson分布特征；

  • Poisson分布是指单位时间/面积/体积内的发生数，因而如果基数不一致时，spssau分析时，一定要放入基数这个数据。

  • 如果X为定类数据，通常情况下需要将X进行虚拟(哑)变量设置【SPSSAU中生成变量功能中有，比如本研究的性别】。

• 3、操作

  本例子中研究X对于Y的差异；X分别为性别和年龄【其中性别为定类数据，因而做虚拟变量处理后，将性别_女放入模型，男性作为对照】，Y为‘是否皮肤肺癌’。并且带着基数，因而放置如下：

  

• 4、SPSSAU输出结果

  模型似然比检验结果
  似然比卡方值	df	p	AIC 值	BIC 值
  1041.929	2	0.000	121.649	122.557

  第一个表格用于模型检验，模型检验的原定假设为“是否放入X模型质量均一样”，此处放入2个X分别是性别_女，年龄。而且p 值为0.000 <0.05，意味着放入2个自变量后，模型质量有明显的提升，因而拒绝原定假设，本次模型构建有意义。卡方值和df 值均为中间过程值可忽略。 以及AIC和BIC这两个指标值，可用于多个模型对比(AIC和BIC越小越好)，当前放入2个自变量可记录下AIC和BIC 值，如果多放一个自变量(即3个时)，AIC和BIC 值有着明显的下降，则可以选择3个自变量时的模型作为最终模型。

• Poisson回归分析结果汇总
  项	回归系数	标准误	z 值	p 值	OR值	OR值95% CI(LL)	OR值95% CI(UL)
  性别_女	-0.035	0.189	-0.187	0.852	0.965	0.666	1.399
  年龄	0.643	0.025	25.972	0.000	1.902	1.812	1.997
  截距	-9.952	0.159	-62.447	0.000	0.000	0.000	0.000
  因变量Y: 皮肤癌人数
  McFadden R 方: 0.900

  

  第二个表格用于研究X对于Y的影响关系情况，表格中有意义的指标信息包括：p 值，回归系数和R Pseudo R ²。其它指标包括标准误，z 值，95% CI值意义相对较小。

• 5、文字分析

  模型似然比检验汇总
  似然比卡方值	df	p	AIC 值	BIC 值
  1041.929	2	0.000	121.649	122.557

  进行Poisson回归模型构建时，首先对于模型检验进行分析，模型假假设为是否放入自变量时质量均一致。从上表可知，p 值为0.000 <0.05，意味着本次模型构建有意义。

• Poisson回归分析结果汇总
  项	回归系数	标准误	z 值	p 值	OR值	OR值95% CI(LL)	OR值95% CI(UL)
  性别_女	-0.035	0.189	-0.187	0.852	0.965	0.666	1.399
  年龄	0.643	0.025	25.972	0.000	1.902	1.812	1.997
  截距	-9.952	0.159	-62.447	0.000	0.000	0.000	0.000
  因变量Y: 皮肤癌人数
  McFadden R 方: 0.900

  

  从上表可知，将性别_女, 年龄共2项为自变量，而将皮肤癌人数作为因变量进行Poisson回归分析，从上表可以看出，模型伪R ²值（Pseudo R ²）为0. 900，意味着性别， 性别和年龄可以解释皮肤癌患病的90.0%变化原因。从上表可知：模型公式为：log(u)=log(人口基数) -9.952-0.035*性别_女 + 0.643*年龄(其中u代表期望均数)。最终具体分析可知：

  • 性别_女的回归系数值为-0.035，但是并没有呈现出显著性(p =0.852>0.05)，意味着相对于男性来讲，女性患皮肤癌情况并没有明显的差异，也即说明性别对于患皮肤癌并不会产生影响。

  • 年龄的回归系数值为0.643，并且呈现出0.01水平的显著性(p =0.000 <0.01)，意味着年龄会对患皮肤癌产生显著的正向影响关系。以及优势比(OR值)为1.902，意味着年龄增加一个单位时，患皮肤症的的概率增加1.902倍。

  • 总结分析可知：年龄会对皮肤癌人数产生显著的正向影响关系。但是性别并不会对皮肤癌人数产生影响关系。

• 6、剖析

  Poisson回归分析涉及以下几个关键点，分别如下：

  • Poisson分布是指单位时间/面积/体积内的发生数，因而如果基数不一致时，spssau分析时，一定要放入基数这个数据。

  • 如果X是定类数据，此时需要对X进行虚拟(哑)变量设置【虚拟变量设置参考: https://www.spssau.com/helps/otherdocuments/dummy.html 】。

  关于‘加权数据格式’的详细说明参考：https://www.spssau.com/helps/otherdocuments/dataformat.html