典型相关分析

  • 如果研究1个X和1个Y之间的关系情况,此时直接使用相关分析即可;但如果希望研究1组X和1组Y之间的关系情况,则需要使用典型相关分析(canonical correlation analysis,简称caa)。比如投资性变量(如劳动者人数、货物周转量、生产建设投资等)与国民收入变量(如工农业国内收入、运输业国内收入、建筑业国内收入等)这两组数据之间的相关关系;也或者运动员体力指标(如反复横向跳、纵跳、背力、握力等)与运动能力指标(如耐力跑、跳远、投球等)这两组数据之间的相关有关系,此时均需要使用典型相关分析。

    典型相关分析用于研究一组X与另一组Y数据之间的相关关系情况。它借助主成分分析思想,结合变量间的相关关系情况,寻找出一个或少数几个综合变量(即典型变量)来替代原变量,从而对两组变量关系集中到少数几对典型变量间的关系之上。

    • 从步骤上讲:典型相关分析共分为三个步骤。
    • 第一步:提取出典型相关变量【非常重要】;

    • 第二步:寻找典型变量与研究变量之间的关系表达式,以及典型变量与研究变量间的关系情况;

    • 第三步:典型冗余分析。

    • SPSSAU共输出4个表格;表格1用于典型变量表述典型变量之间的相关关系情况;表格2和表格3用于展示典型变量与研究变量间的数学表达式关系和相关有关系;表格4可用于典型冗余分析。

      SPSSAU输出表格参考格式如下【典型相关较为复杂,建议查看案例】:

典型相关分析案例

  • 1、背景

    为研究运动员体力和运动能力之间的相关关系情况。共收集38个学生样本进行分析。测试数据包括体力指标共7项(X1为反复横向跳,X2为纵跳,X3为背力,X4为握力,X5为台阶试验指数,X6为立定体前屈,X7为俯卧向体后仰);运动能力指标共5项(Y1为50米跑时间,Y2为跳远,Y3为投球,Y4为引体向上,Y5为耐力跑)。

    从上述背景来看,X共由7项表示,Y由5项表示。想研究X和Y这两组指标之间的相关关系情况,不能通过常规的相关分析直接研究(原因是会得出两两间共计7*5个相关系数,无法分析出两组指标间的关系情况),因而使用典型相关分析进行研究。

  • 2、理论

    典型相关分析是研究两组数据间的相关关系,此例中X组为7项,Y组为5项。典型相关分析思想在于:首先对数据提取出典型变量(即对于共12项的信息浓缩),然后在典型变量的基础进行分析。典型变量是对数据信息的浓缩提取,通常情况下典型变量会很少,通常为2~5个之间,便于对信息进行浓缩提取。

    完成典型变量提取之后,接着需要分别分析典型变量与X,或者Y之间的数学表达式关系,以及典型变量分别与X或者Y之间的关系情况;并且可结合具体情况对于典型变量进行命名。

    上述步骤已经提取出典型变量,并且进行命名,以及得到典型变量之间的相关关系情况,即X组和Y组之间的相关关系之后;还可以进一步进行典型冗余分析。

    典型冗余分析是指研究典型变量对于X组的信息提取量;也或者典型变量对于Y组的信息提取量情况。

    • 特别提示
    • 典型变量是成对出现的,比如当前两个典型变量分别是典型变量1和典型变量2;下述分析时会出现典型变量X1和典型变量Y1;典型变量X2和典型变量Y2。

  • 3、操作

    • 本案例中X共有7项;Y共有5项。对应放入如下图:

  • 4、SPSSAU输出结果

    此表格展示出典型变量的提取情况,上表中共显示有5个典型变量被提取出来,在进行F 检验时显示,其中仅2个典型变量是呈现出0.01水平的显著性,因此,最终应该以两个典型变量为准进行后续研究。并且第一个典型变量的相关系数值为0.763,第二个典型变量为0.706,相关系数值较高,说明典型变量之间有着紧密的正向相关关系。此步骤非常重要,共提取出2个典型变量,并且直接得出典型变量对的相关关系情况(即X组和Y组之间的相关关系情况)。

    通俗上讲,即可理解为总共X组7项指标,与Y组5项指标之间,最终可由两个典型变量对进行浓缩提取表示,而且此2个典型变量间的相关系数值均高于0.7,说明X组和Y组之间有着非常紧密的正向相关关系。

    • 特别提示
    • 上表格显示共提取出5个典型变量,因而接下来共3个表格均会以5个为准展示信息;但是仅2个典型变量呈现出显著性,因此,在具体分析时,仅分析对应的2个典型变量即可,其余3个没有呈现出显著性的典型变量不需要深入分析。

    • 典型变量是成对出现的,比如当前两个典型变量分别是典型变量1和典型变量2;下述分析时会出现典型变量X1和典型变量Y1;典型变量X2和典型变量Y2。

    上表格共展示出两项信息,分别是典型变量与X组7项指标的数学表达式(典型系数),以及典型变量与X组7项指标之间的相关关系(典型载荷系数);

    • 从数学表达式上看可列出为如下:
    • 典型变量X1 = -0.015*x1-0.014*x2-0.002*x3-0.009*x4-0.004*x5-0.001*x6-0.002*x7

    • 典型变量X2 = 0.008*x1-0.010*x2+0.000*x3+0.005*x4+0.010*x5+0.004*x6-0.008*x7

    • 典型变量X3 = 0.037*x1-0.012*x2+0.000*x3-0.002*x4-0.007*x5+0.017*x6-0.002*x7

    • 典型变量X3 = -0.021*x1+0.011*x2+0.000*x3-0.019*x4+0.005*x5+0.013*x6-0.010*x7

    • 典型变量X5 = 0.028*x1-0.006*x2+0.000*x3-0.021*x4-0.002*x5-0.007*x6+0.019*x7

    • 从典型变量与X组7项指标的相关关系来看,其相关关系情况由典型载荷系数值表示,典型载荷系数绝对值越大说明该项与典型变量之间的相关关系越强:上述分析显示共有2个典型变量呈现出显著性,因而上表格的分析应该着重于研究此2个典型变量。典型变量X1与X组7项的相关关系(载荷系数)值分别是:-0.598,-0.751,-0.316,-0.296,-0.306,-0.277。典型变量X2与X组7项的相关系数(载荷系数)值分别是:0.311,-0.510,-0.118,0.039,0.773,-0.060,-0.163。

    如果用图示表示的话,如下面两图所示:

    上图非常直接的展示出第1个典型变量与7个指标之间的相关关系情况,明显的,典型变量与X1(反向横向跳),X2(纵跳)的关系很强,即典型变量更多地提取X1(反向横向跳),X2(纵跳)这两项的信息。

    上图非常直接的展示出第2个典型变量与7个指标之间的相关关系情况,明显的,典型变量与X2(纵跳),X5(台阶试验指数)的关系很强,即典型变量更多地提取X2(纵跳),X5(台阶试验指数)这两项的信息。

    上表格共展示出两项信息,分别是典型变量与Y组5项指标的数学表达式(典型系数),以及典型变量与Y组5项指标之间的相关关系(典型载荷系数);

    • 从数学表达式上看可列出为如下:
    • 典型变量Y1 = 0.271*y1-0.001*y2-0.012*y3-0.010*y4-0.000*y5

    • 典型变量Y2 = -0.353*y1-0.004*y2-0.016*y3+0.002*y4-0.005*y5

    • 典型变量Y3 = 0.150*y1+0.001*y2+0.010*y3-0.021*y4-0.004*y5

    • 典型变量Y4 = 0.206*y1-0.003*y2+0.059*y3+0.035*y4+0.002*y5

    • 典型变量Y5 = -0.238*y1-0.000*y2+0.042*y3-0.042*y4+0.001*y5

    • 从典型变量与Y组5项指标的相关关系来看,其相关关系情况由典型载荷系数值表示,典型载荷系数绝对值越大说明该项与典型变量之间的相关关系越强:上述分析显示共有2个典型变量呈现出显著性,因而上表格的分析应该着重于研究此2个典型变量。典型变量Y1与Y组5项的相关关系(载荷系数)值分别是:0.866,-0.777,-0.564,-0.733,0.358。典型变量Y2与Y组5项的相关系数(载荷系数)值分别是:-0.286,-0.446,-0.131,0.017,-0.300。

    如果用图示表示的话,如下面两图所示:

    上图非常直接的展示出第1个典型变量与5个指标之间的相关关系情况,明显的,典型变量与Y1(50米跑时间),Y2(跳远),Y3(投球),Y4(引体向上)的关系很强,载荷系数绝对值均大于0.5,即典型变量更多地提取Y1(50米跑时间),Y2(跳远),Y3(投球),Y4(引体向上)这4项的信息。

    上图非常直接的展示出第2个典型变量与5个指标之间的相关关系情况,明显的,典型变量与Y2(跳远)的关系很强,载荷系数绝对值为0.446,即典型变量更多地提取Y2(跳远)的信息。

    完成上述分析后,已经得出结论即:X组与Y组进行典型相关分析时,总共提取出两个典型变量对,典型变量对1更多地提取X1(反向横向跳),X2(纵跳)这两项的信息;典型变量对2更多地提取X2(纵跳),X5(台阶试验指数)这两项的信息;典型变量对1更多地提取Y1(50米跑时间),Y2(跳远),Y3(投球),Y4(引体向上)这4项的信息;典型变量对2更多地提取Y2(跳远)的信息。除此之外,典型变量对1之间的相关系数值为0.763,并且典型变量对2之间的相关系数值为0.703,典型变量相关系数值均高于0.7,意味着X组7项指标与Y组5项指标之间有着非常紧密的正向相关关系。

    接着进一步进行典型冗余分析,即了解典型变量对于研究数据的信息提取量情况。上表格展示5个典型变量分别对于X组或者Y组指标的信息提取情况;比如上表中典型变量X1可提取出X组7个指标20.325%的信息量,典型变量X1可提取出Y组5个指标11.826%的信息量。由于总共仅2个典型变量呈现出显著性,因而仅分析2项,而且只分析组内差异(即典型变量X与X组的信息提取,典型变量Y与Y组的信息提取);

    从上表可以看出:典型变量X1和典型变量X2对于X组7项指标的信息提取量分别是20.325%和14.293%,共计34.62%;以及典型变量Y1和和典型变量Y2对于Y组5项指标的信息提取量分别是46.751%和7.760%,共计)54.51%。

  • 5、文字分析

    • 使用典型相关分析去研究X组7项指标与Y组5项指标之间的典型相关分析,总共提取出两个典型变量对,典型变量对1更多地提取X1(反向横向跳),X2(纵跳)这两项的信息;典型变量对2更多地提取X2(纵跳),X5(台阶试验指数)这两项的信息;典型变量对1更多地提取Y1(50米跑时间),Y2(跳远),Y3(投球),Y4(引体向上)这4项的信息;典型变量对2更多地提取Y2(跳远)的信息。

    • 典型变量X1和典型变量X2对于X组7项指标的信息提取量分别是20.325%和14.293%,共计34.62%;以及典型变量Y1和和典型变量Y2对于Y组5项指标的信息提取量分别是46.751%和7.760%,共计)54.51%。

    • 最终分析可知:典型变量对1之间的相关系数值为0.763,并且典型变量对2之间的相关系数值为0.703,典型变量相关系数值均高于0.7,意味着X组7项指标与Y组5项指标之间有着非常紧密的正向相关关系。

    • 典型相关分析的信息量较大,建议可使用图示法,即将数字标识在图中,更好的呈现信息(包括典型变量分别与X或Y之间的关系情况,以及典型相关关系情况),比如本案例可画为两图如下:

  • 6、剖析

    • 典型变量是成对出现的,比如当前两个典型变量分别是典型变量1和典型变量2;分析时会出现典型变量X1和典型变量Y1;典型变量X2和典型变量Y2。

    • 典型相关分析共分为三个步骤:
    • 第一步是典型变量对的提取;

    • 第二步是典型变量分别与X组或者Y组之间的数学表达式,或相关关系(载荷系数),并且可对典型变量进行命名;

    • 第三步是典型冗余分析,研究典型变量提取信息量情况。

疑难解惑

  • 典型相关交叉载荷系数是什么意思?
  • 比如典型变量X组与分析项Y组之间的载荷系数值,即为交叉载荷系数;以及典型变量Y组与分析项X组之间的载荷系数值,也是交叉载荷系数。通常情况下其意义相对较小。

  • SPSSAU 典型相关分析时,典型系数与SPSS不一致?
  • SPSSAU典型相关分析时对应的典型系数计算原理与R完全一致(但与SPSS不一致),与此同时,典型载荷系数有可能与SPSS结果出现系数相反【分析上应该查看典型载荷系数值的绝对值】。